Estadística Media Móvil Centrada

Cuando se calcula una media móvil en ejecución, colocar el promedio en el período de tiempo medio tiene sentido En el ejemplo anterior se calculó el promedio de los primeros 3 períodos de tiempo y lo colocó al lado del período 3. Podríamos haber colocado el promedio en el medio de la Intervalo de tiempo de tres períodos, es decir, al lado del período 2. Esto funciona bien con períodos de tiempo impares, pero no tan bueno para incluso períodos de tiempo. Entonces, ¿dónde colocaríamos el primer promedio móvil cuando M 4 Técnicamente, el promedio móvil caería en t 2,5, 3,5. Para evitar este problema, suavizar las MA con M 2. Así, suavizar los valores suavizados Si la media de un número par de términos, tenemos que suavizar los valores suavizados La siguiente tabla muestra los resultados utilizando M 4.Stata: Análisis de datos y estadísticas () Y sus limitaciones El comando más obvio de Statarsquos para calcular promedios móviles es la función ma () de egen. Dada una expresión, crea un promedio móvil de esa expresión. De forma predeterminada, se toma como 3. debe ser impar. Sin embargo, como indica la entrada manual, egen, ma () no se puede combinar con varlist:. Y, por esa sola razón, no es aplicable a los datos de los grupos especiales. En cualquier caso, se encuentra fuera del conjunto de comandos específicamente escritos para series de tiempo ver series de tiempo para más detalles. Métodos alternativos Para calcular las medias móviles de los datos del panel, hay al menos dos opciones. Ambos dependen de que el conjunto de datos haya sido tsset de antemano. Esto vale mucho la pena: no sólo puede ahorrarse repetidamente especificando la variable de panel y la variable de tiempo, pero Stata se comporta de manera inteligente dada lagunas en los datos. 1. Escriba su propia definición utilizando generate Usando operadores de series de tiempo como L. y F.. Dar la definición de la media móvil como el argumento a una declaración de generar. Si lo hace, naturalmente, no está limitado a los promedios móviles ponderados (no ponderados) centrados calculados por egen, ma (). Por ejemplo, los promedios móviles de tres periodos ponderados por igual estarían dados por y algunos pesos pueden ser fácilmente especificados: Usted puede, por supuesto, especificar una expresión como log (myvar) en lugar de un nombre de variable como myvar. Una gran ventaja de este enfoque es que Stata hace automáticamente lo correcto para los datos del panel: los valores de avance y retraso se calculan dentro de paneles, tal como la lógica dicta que deberían ser. La desventaja más notable es que la línea de comandos puede ser bastante larga si el promedio móvil implica varios términos. Otro ejemplo es una media móvil unilateral basada sólo en valores anteriores. Esto podría ser útil para generar una expectativa adaptativa de lo que una variable se basará puramente en la información hasta la fecha: ¿qué podría alguien prever para el período actual basado en los últimos cuatro valores, utilizando un esquema de ponderación fijo? Especialmente utilizado con series de tiempos trimestrales.) 2. Utilice egen, filter () de SSC Utilice el filtro de función egen escrito por el usuario () del paquete egenmore en SSC. En Stata 7 (actualizado después del 14 de noviembre de 2001), puede instalar este paquete después de que ayuda egenmore señala los detalles en filter (). Los dos ejemplos anteriores serían renderizados (en esta comparación el enfoque de generar es tal vez más transparente, pero veremos un ejemplo de lo contrario en un momento). Los retrasos son un numlist. Los conductores son retardos negativos: en este caso -1/1 se expande a -1 0 1 o el plomo 1, retrasa 0, retraso 1. Los coeficientes, otro numlist, multiplican los artículos retrasados ​​o principales relevantes: en este caso esos artículos son F1.myvar. Myvar y L1.myvar. El efecto de la opción normalizar es escalar cada coeficiente por la suma de los coeficientes para que coef (1 1 1) normalize sea equivalente a coeficientes de 1/3 1/3 1/3 y coef (1 2 1) normalizar es equivalente A coeficientes de 1/4 1/2 1/4. Debe especificar no sólo los rezagos, sino también los coeficientes. Debido a que egen, ma () proporciona el caso igualmente ponderado, la razón principal para egen, filter () es apoyar el caso desigualmente ponderado, para el cual debe especificar coeficientes. También podría decirse que obligar a los usuarios a especificar coeficientes es un poco más de presión sobre ellos para pensar qué coeficientes quieren. La principal justificación para pesos iguales es, suponemos, la simplicidad, pero los pesos iguales tienen propiedades de dominio de frecuencia pésimas, por mencionar sólo una consideración. El tercer ejemplo anterior podría ser cualquiera de los cuales es casi tan complicado como el enfoque de generar. Hay casos en que egen, filter () da una formulación más simple que generar. Si quieres un filtro binomial de nueve términos, que los climatólogos encuentren útil, entonces parece quizás menos horrible que, y más fácil de conseguir que justo, así como con el enfoque de generar, egen, filter () funciona correctamente con los datos del panel. De hecho, como se indicó anteriormente, depende de que el conjunto de datos haya sido tsset de antemano. Una punta gráfica Después de calcular sus promedios móviles, es probable que desee ver un gráfico. El comando escrito por el usuario tsgraph es inteligente acerca de conjuntos de datos tsset. Instálelo en un Stata 7 actualizado por ssc inst tsgraph. ¿Qué pasa con subconjunto con si ninguno de los ejemplos anteriores hacer uso de si las restricciones. De hecho, egen, ma () no permitirá si se especifica. Ocasionalmente la gente quiere usar si al calcular promedios móviles, pero su uso es un poco más complicado de lo que suele ser. ¿Qué esperaría de un promedio móvil calculado con if. Identificemos dos posibilidades: Interpretación débil: No quiero ver ningún resultado para las observaciones excluidas. Interpretación fuerte: Ni siquiera quiero que uses los valores de las observaciones excluidas. He aquí un ejemplo concreto. Suponga como consecuencia de alguna condición if, las observaciones 1-42 están incluidas pero no las observaciones 43 sobre. Pero el promedio móvil de 42 dependerá, entre otras cosas, del valor de observación 43 si el promedio se extiende hacia atrás y hacia adelante y es de longitud por lo menos 3, y dependerá también de algunas de las observaciones 44 en adelante en algunas circunstancias. Nuestra conjetura es que la mayoría de la gente iría para la interpretación débil, pero si eso es correcto, egen, filter () no apoya si cualquiera. Siempre se puede ignorar lo que donrsquot quieren o incluso establecer valores no deseados a falta después mediante el uso de reemplazar. Una nota sobre los resultados faltantes en los extremos de la serie Debido a que los promedios móviles son funciones de retrasos y derivaciones, egen, ma () produce falta donde no existen los retrasos y las derivaciones, al principio y al final de la serie. Una opción nomiss obliga al cálculo de promedios móviles más cortos y no centrados para las colas. En contraste, ni generar ni egen, filter () hace, o permite, nada especial para evitar resultados faltantes. Si falta alguno de los valores necesarios para el cálculo, faltará ese resultado. Depende de los usuarios decidir si y qué cirugía correctiva se requiere para estas observaciones, presumiblemente después de mirar el conjunto de datos y teniendo en cuenta cualquier ciencia subyacente que se puede llevar a cabo. Promedios de movimiento Medias móviles Con conjuntos de datos convencionales el valor medio es a menudo el primero , Y uno de los más útiles, las estadísticas de resumen para calcular. Cuando los datos están en forma de series temporales, la media de la serie es una medida útil, pero no refleja la naturaleza dinámica de los datos. Los valores medios calculados en periodos de cortocircuito, ya sea antes del período actual o centrados en el período actual, suelen ser más útiles. Debido a que tales valores medios variarán, o se moverán, a medida que el período actual se desplaza desde el tiempo t2, t3, etc., se conocen como medias móviles (Mas). Un promedio móvil simple es (típicamente) el promedio no ponderado de k valores previos. Una media móvil exponencialmente ponderada es esencialmente la misma que una media móvil simple, pero con contribuciones a la media ponderada por su proximidad al tiempo actual. Debido a que no hay una, sino toda una serie de promedios móviles para cualquier serie dada, el conjunto de Mas puede ser trazado en gráficos, analizado como una serie, y utilizado en el modelado y la predicción. Una gama de modelos puede ser construida usando medias móviles, y éstos se conocen como modelos del MA. Si estos modelos se combinan con modelos autorregresivos (AR), los modelos compuestos resultantes se conocen como modelos ARMA o ARIMA (el I es para integrado). Promedios móviles simples Puesto que una serie temporal puede considerarse como un conjunto de valores, t 1,2,3,4, n se puede calcular el promedio de estos valores. Si asumimos que n es bastante grande, y seleccionamos un entero k que es mucho menor que n. Podemos calcular un conjunto de promedios de bloques, o medias móviles simples (de orden k): Cada medida representa el promedio de los valores de datos sobre un intervalo de k observaciones. Obsérvese que la primera MA posible de orden k gt0 es que para t k. De forma más general, podemos eliminar el subíndice extra en las expresiones anteriores y escribir: Esto indica que la media estimada en el tiempo t es el promedio simple del valor observado en el tiempo t y los pasos de tiempo anteriores k -1. Si se aplican pesos que disminuyen la contribución de las observaciones que están más lejos en el tiempo, se dice que el promedio móvil se alisa exponencialmente. Los promedios móviles se usan a menudo como una forma de pronóstico, por lo que el valor estimado para una serie en el tiempo t 1, S t1. Se toma como la MA para el período hasta e incluyendo el tiempo t. p. ej. La estimación de hoy se basa en un promedio de valores anteriores registrados hasta e incluyendo ayer (para datos diarios). Los promedios móviles simples pueden ser vistos como una forma de suavizado. En el ejemplo ilustrado a continuación, el conjunto de datos sobre contaminación atmosférica que se muestra en la introducción a este tema se ha aumentado con una línea de 7 días de media móvil (MA), que se muestra aquí en rojo. Como se puede ver, la línea de MA suaviza los picos y valles en los datos y puede ser muy útil para identificar las tendencias. La fórmula estándar de cálculo de forward significa que los primeros k -1 puntos de datos no tienen ningún valor MA, pero a partir de entonces los cálculos se extienden hasta el punto final de datos de la serie. Una razón para calcular promedios móviles simples de la manera descrita es que permite calcular los valores para todos los intervalos de tiempo desde el tiempo tk hasta el presente, y A medida que se obtiene una nueva medida para el tiempo t1, se puede añadir el MA del tiempo t1 al conjunto ya calculado. Esto proporciona un procedimiento sencillo para conjuntos de datos dinámicos. Sin embargo, hay algunos problemas con este enfoque. Es razonable argumentar que el valor medio en los últimos 3 períodos, digamos, debería estar situado en el tiempo t -1, no en el tiempo t. Y para una MA sobre un número par de períodos tal vez debería estar situado en el punto medio entre dos intervalos de tiempo. Una solución a este problema es usar cálculos de MA centrados, en los que la MA en el tiempo t es la media de un conjunto simétrico de valores alrededor de t. A pesar de sus obvios méritos, este enfoque no se utiliza generalmente porque requiere que los datos estén disponibles para eventos futuros, lo que puede no ser el caso. En casos donde el análisis es enteramente de una serie existente, el uso de Mas centrado puede ser preferible. Los promedios móviles simples pueden considerarse como una forma de suavizado, eliminando algunos componentes de alta frecuencia de una serie temporal y destacando (pero no eliminando) las tendencias de manera similar a la noción general de filtrado digital. De hecho, las medias móviles son una forma de filtro lineal. Es posible aplicar un cálculo del promedio móvil a una serie que ya ha sido suavizada, es decir, suavizar o filtrar una serie ya suavizada. Por ejemplo, con un promedio móvil de orden 2, podemos considerar que se calcula usando pesos, por lo que la MA en x 2 0,5 x 1 0,5 x 2. Igualmente, la MA en x 3 0,5 x 2 0,5 x 3. Si Aplicar un segundo nivel de suavizado o filtrado, tenemos 0,5 x 2 0,5 x 3 0,5 (0,5 x 1 0,5 x 2) 0,5 (0,5 x 2 0,5 x 3) 0,25 x 1 0,5 x 2 0,25 x 3 es decir, el filtro de 2 etapas Proceso (o convolución) ha producido una media móvil simétrica ponderada variablemente, con pesos. Las convoluciones múltiples pueden producir promedios móviles ponderados bastante complejos, algunos de los cuales se han encontrado de uso particular en campos especializados, como en los cálculos del seguro de vida. Medias móviles se pueden utilizar para eliminar los efectos periódicos si se calcula con la longitud de la periodicidad como un conocido. Por ejemplo, con datos mensuales, las variaciones estacionales pueden ser eliminadas (si este es el objetivo) aplicando una media móvil simétrica de 12 meses con todos los meses ponderados igualmente, excepto el primero y el último que se ponderan en 1/2. Esto es porque habrá 13 meses en el modelo simétrico (tiempo actual, t. / - 6 meses). El total se divide por 12. Se pueden adoptar procedimientos similares para cualquier periodicidad bien definida. Promedios móviles ponderados exponencialmente (EWMA) Con la fórmula del promedio móvil simple: todas las observaciones son igualmente ponderadas. Si llamamos a estos pesos iguales, alfa t. Cada uno de los k pesos sería igual a 1 / k. Por lo que la suma de los pesos sería 1, y la fórmula sería: Ya hemos visto que las aplicaciones múltiples de este proceso resultan en los pesos que varían. Con las medias móviles exponencialmente ponderadas, se reduce la contribución al valor medio de las observaciones que se eliminan más en el tiempo, haciendo hincapié en los acontecimientos más recientes (locales). Esencialmente se introduce un parámetro de suavizado, 0lt alfa lt1, y la fórmula se revisa a: Una versión simétrica de esta fórmula sería de la forma: Si los pesos en el modelo simétrico son seleccionados como los términos de los términos de la expansión binomial, (1/21/2) 2q. Se sumarán a 1, y cuando q se haga grande, se aproximará a la distribución Normal. Esta es una forma de peso del núcleo, con el binomio actuando como la función del núcleo. La convolución de dos etapas descrita en la subsección anterior es precisamente esta disposición, con q1, dando los pesos. En el suavizado exponencial es necesario utilizar un conjunto de pesos que suman a 1 y que se reducen en tamaño geométricamente. Los pesos utilizados son típicamente de la forma: Para mostrar que estos pesos suman a 1, considere la expansión de 1 / como una serie. Podemos escribir y expandir la expresión entre paréntesis usando la fórmula binomial (1-x) p. Donde x (1-) y p -1, lo que da: Esto proporciona entonces una forma de media móvil ponderada de la forma: Esta suma puede escribirse como una relación de recurrencia: lo que simplifica enormemente el cálculo y evita el problema de que el régimen de ponderación Debe ser estrictamente infinito para que los pesos sumen a 1 (para valores pequeños de alfa, esto no suele ser el caso). La notación utilizada por diferentes autores varía. Algunos usan la letra S para indicar que la fórmula es esencialmente una variable suavizada y escriben: mientras que la literatura de la teoría de control usualmente usa Z en lugar de S para los valores exponencialmente ponderados o suavizados (véase, por ejemplo, Lucas y Saccucci, 1990, LUC1 , Y el sitio web del NIST para más detalles y ejemplos trabajados). Las fórmulas citadas anteriormente derivan del trabajo de Roberts (1959, ROB1), pero Hunter (1986, HUN1) utiliza una expresión de la forma: que puede ser más apropiada para su uso en algunos procedimientos de control. Con alfa 1, la estimación media es simplemente su valor medido (o el valor del elemento de datos anterior). Con 0.5 la estimación es el promedio móvil simple de las mediciones actuales y anteriores. En los modelos de predicción el valor, S t. Se utiliza a menudo como estimación o valor de pronóstico para el siguiente período de tiempo, es decir, como la estimación de x en el tiempo t 1. Así, tenemos: Esto muestra que el valor pronosticado en el tiempo t 1 es una combinación de la media móvil ponderada exponencial anterior Más un componente que representa el error de predicción ponderado, epsilon. En el tiempo t. Suponiendo que se da una serie de tiempo y se requiere una predicción, se requiere un valor para alfa. Esto puede estimarse a partir de los datos existentes mediante la evaluación de la suma de los errores de predicción al cuadrado obtenidos con valores variables de alfa para cada t 2,3. Estableciendo la primera estimación como el primer valor de datos observado, x 1. En aplicaciones de control, el valor de alfa es importante porque se usa en la determinación de los límites de control superior e inferior y afecta a la longitud de ejecución media (ARL) esperada Antes de que estos límites de control se rompen (bajo el supuesto de que las series temporales representan un conjunto de variables independientes aleatorias, distribuidas de forma idéntica con varianza común). En estas circunstancias, la varianza de la estadística de control es (Lucas y Saccucci, 1990): Los límites de control se establecen usualmente como múltiplos fijos de esta varianza asintótica, p. / - 3 veces la desviación estándar. Si alfa 0.25, por ejemplo, y se supone que los datos que se están supervisando tienen una distribución Normal, N (0,1), cuando están en control, los límites de control serán / - 1.134 y el proceso alcanzará uno u otro límite en 500 Pasos en promedio. Lucas y Saccucci (1990 LUC1) derivan los ARLs para una amplia gama de valores alfa y bajo diversas suposiciones usando procedimientos de cadena de Markov. Ellos tabulan los resultados, incluyendo el suministro de ARLs cuando la media del proceso de control ha sido desplazada por un múltiplo de la desviación estándar. Por ejemplo, con un cambio de 0.5 con alfa 0.25 el ARL es menos de 50 pasos de tiempo. Los enfoques descritos anteriormente se conocen como suavizado exponencial simple. Ya que los procedimientos se aplican una vez a la serie temporal y luego los procesos de análisis o control se llevan a cabo en el conjunto de datos suavizado resultante. Si el conjunto de datos incluye una tendencia y / o componentes estacionales, se puede aplicar el suavizado exponencial de dos o tres etapas como un medio para eliminar (modelar explícitamente) estos efectos (véase más adelante la sección sobre Pronóstico y el ejemplo trabajado del NIST ). CHA1 Chatfield C (1975) El Análisis de la Serie de Tiempos: Teoría y Práctica. Chapman y Hall, Londres HUN1 Hunter J S (1986) La media móvil exponencialmente ponderada. J of Quality Technology, 18, 203-210 LUC1 Lucas J M, Saccucci M S (1990) Esquemas de control del promedio móvil ponderado exponencialmente: Propiedades y mejoras. Technometrics, 32 (1), 1-12 ROB1 Roberts S W (1959) Pruebas de gráficos de control basadas en medias móviles geométricas. Technometrics, 1, 239-250